3円がからむ共点問題 - Menelarの記録手帳

再び自分の問題をとりあげることにします.
[問題]
下の図のように， $\triangle ABC$ の各辺 $AB,BC,CA$ を通る円 $\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}$ があり，それぞれ $D,E,F$ で交わっている．
いま， $AE$ と $BD$ の交点を $G,BF$ と $CE$ の交点を $H,CD$ と $AF$ の交点を $I$ とするとき， $DH,EI,FJ$ は1点で交わることを示せ．

[附言]
チェバの定理でいけそうですが,あまり詳しくは考えていません….