2011-04-28

オイラー線と角

自作問題

あるところで見かけた問題を基に，ちょっとした問題を作ってみました.
[問題]
△ $ABC$ の垂心を $H$ とし， $A$ から $BC$ におろした垂線の足を $D$ , $B$ から $CA$ におろした垂線の足を $E$ , $C$ から $AB$ におろした垂線の足を $F$ とする．ここに $BC$ と $EF$ の交点を $P,$ $CA$ と $FD$ の交点を $Q$ とする．また△ $ABC$ の外心を $O$ , $BC$ の中点を $M$ としたとき∠ $APQ$ =∠ $MHO$ であることを示せ.

[附言]
恣意的に作った問題なので,どちらかというと「知識系」問題になってしまうかもしれません．やや気づきにくい部分もあるかもしれませんが,図を正確に捉え，適切な「知識」を用いれば解決します.

2011-04-26

内心についての問題

自作問題

久しぶりの更新です.今回も自作問題を扱います.
[問題]
△ $ABC$ 内の内心を $I$ とし， $I$ をとおる直線と $AB$ ， $AC$ にとの交点を $D,E$ とする．
ここに△ $DBI$ と△ $ECI$ の交点を $F$ とし， $BC$ と $FI$ の交点を $G$ とする．
また， $BI$ と $FD$ の交点を $K$ ， $CI$ と $EF$ の交点を $L$ とする．さらに， $DE$ と $GK$ , $GL$ の交点を $M,N$ とする．
いま，△ $ABC$ の外接円(中心を $O$ とする)と $MB$ , $NC$ との交点を $P,Q$ としたとき， $PQ$ と $O$ の距離は一定であることを示せ.

[附言]
だらだらした問題ですが，小難しい知識は使わずに解けます．

2011-04-12

中点と三角形についての予想

自作問題

久しぶりの更新です.今回は今年の冬に作った「予想」をとりあげます.
[問題]
△ $ABC$ 内に点 $P$ をとり， $AP$ と $BC$ の交点を $D,BP$ と $CA$ の交点を $E,CP$ と $AB$ の交点を[\tex:F]とする．いま $AP,BP,CP$ の中点をそれぞれ $L,M,N，EF,FD,DE$ の中点をそれぞれ $L^{\prime}M^{\prime}N^{\prime}$ とする．このとき
$LL^{\prime},MM^{\prime},NN^{\prime}$ は１点で交わることを示せ．

[附言]
まだ証明はできていませんが「それっぽい」感じはします.解決できた方はお知らせ下さい.

2011-03-31

2006年ベトナム数学オリンピック(代表選抜試験)問題から

数学オリンピック問題

今回は諸国の数学オリンピックからとりあげます.
[問題]
△ $ABC$ を鋭角三角形とし，その垂心を $H$ とする．∠ $BHC$ の内角の2等分線と $AB$ , $AC$ との交点をそれぞれ $D$ , $E$ とし，∠ $BAC$ の内角の2等分線と△ $ADE$ の外接円の交点を $K$ とする．いま， $HK$ と $BC$ の交点は $BC$ の中点であることを示せ.
(2006年ベトナム代表選抜試験問題)

[附言]
代表選抜試験なので若干難しいかもしれません．純粋に幾何「だけ」で示すのは厳しく，途中でベクトルを用いると解決します(内積などを用いて計算するということではありませんが…).

2011-03-16

3円がからむ共点問題

自作問題

再び自分の問題をとりあげることにします.
[問題]
下の図のように， $\triangle ABC$ の各辺 $AB,BC,CA$ を通る円 $\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}$ があり，それぞれ $D,E,F$ で交わっている．
いま， $AE$ と $BD$ の交点を $G,BF$ と $CE$ の交点を $H,CD$ と $AF$ の交点を $I$ とするとき， $DH,EI,FJ$ は1点で交わることを示せ．

[附言]
チェバの定理でいけそうですが,あまり詳しくは考えていません….

2011-03-12

2003年コスタリカ数学オリンピックから

数学オリンピック問題

今回は諸国の数学オリンピックからとりあげます.
[問題]
$AB$ を $\omega$ の直径とする． $l$ を $\omega$ の $B$ における接線とし， $l$ の上に $C,D$ を， $C,B,D$ の順に並ぶように取る．また， $E,F$ を $\omega$ と $AC,AD$ との交点とし, $G,H$ を $\omega$ と $CF,DE$ の交点とする．このときを $AH=AG$ であることを示せ．
(2003年コスタリカ数学オリンピック問題2)

数学オリンピックの問題としてはそんなに難しい方だとは思えません．いきなり解答を書くとつまらないので，答えは書きません．
[附言]
「方べきの定理」で「共円」を見つけ，再び「方べき」を利用しましょう.

2011-03-08

四辺形の共線問題

自作問題

今回も,自分が作った問題を扱うことにしましょう.
[問題]

下図のように，四角形 $ABCD$ の $AB$ と $CD$ の交点を $E,AC$ と $BD$ の交点を $F$ とおく．
ここに， $EF$ の延長上に点 $P$ をとり， $AD$ と $PB,PC$ との交点をそれぞれ $G,H$ とおく．
このとき $CG$ と $BD$ の交点は $EF$ 上にあることを示せ．
〈2007年末頃作成・その後しばらく放置し解決は2009年秋〉

[附言]
自分が考えた証明は「複比」を用いるものですが，メネラウスの定理やチェバの定理・またパップスの定理やデザルグの定理などでもできるかもしれませんが…どうでしょう?